Алекс Байдошвили поступил на медицинский факультет Тбилисского Государственного Медицинского Университета, после чего продолжил обучение в Нидерландах, в ведущем университете Амстердама (VU University of Amsterdam). По окончании обучения он получил степень доктора и прошел пятилетнюю ординатуру по патологической анатомии в Медицинском центре Университета VU (VU University Medical Center). В результате Алекс Байдошвили получил Государственный сертификат Нидерландов по клинической патологии. Также он получил государственный сертификат патологоанатома и клинического патологоанатома Грузии. В 2018 году он получил звание профессора и доктора медицины за диссертацию по цифровой патологии.
Алекс Байдошвили - основатель Ассоциации Патологов И Цитологов Грузии и член Общества патологов Дании, Великобритании и Ирландии. Его имя связано с рядом научных работ и нововведений, благодаря которым он прославился на международном уровне. Под руководством Алекса Байдошвили лаборатория Labpon в Нидерландах была первой в мире которая перешла на диагностику с цифровыми технологиями. В этой же лаборатории грузинский врач и ученый возглавляет отделение цифровой патологии.
Алекс Байдошвили также работает в Грузии. Он руководит департаментом патологии и анатомии сети госпиталей Evex и департаментам патологии в лаборатории «Мегалаб». Он также является активным членом совета экспертов в области онкологии/гематологии.