ალექსი ბაიდოშვილმა თბილისის სახელმწიფო სამედიცინო უნივერსიტეტის მედიცინის ფაკულტეტზე ჩააბარა, რის შემდგომაც სწავლა ნიდერლანდებში, ამსტერდამის წამყვან უნივერსიტეტში (VU University of Amsterdam) განაგრძო. სასწავლო კურსის დასრულების შემდეგ მან ექიმის დიპლომი მიიღო და ამავე სასწავლებლის ბაზაზე მოქმედ სამედიცინო ცენტრში (VU University Medical Center) პათოლოგიური ანატომიის მიმართულებით ხუთწლიანი რეზიდენტურა დაამთავრა. შედეგად, ალექსი ბაიდოშვილმა კლინიკური პათოლოგიის განხრით ჰოლანდიის სახელმწიფო სერტიფიკატი მიიღო. ასევე, მან საქართველოშიც მოიპოვა პათოლოგანატომისა და კლინიკური პათოლოგის სახელმწიფო სერტიფიკატი. პროფესორისა და მედიცინის აკადემიური დოქტორის წოდება კი 2018 წელს, ციფრულ პათოლოგიაში დისერტაციის დაცვის საფუძველზე მიენიჭა.
ალექსი ბაიდოშვილი საქართველოს პათოლოგიისა და ციტოლოგიის ასოციაციის დამფუძნებელი და დანიის, დიდი ბრიტანეთისა და ირლანდიის პათოლოგიის საზოგადოების წევრია. მის სახელს უკავშირდება არაერთი სამეცნიერო ნაშრომი და ინოვაცია, რომლითაც მან საერთაშორისო დონეზე გაითქვა სახელი. ალექსი ბაიდოშვილის ხელმძღვანელობით ჰოლანდიაში მოქმედი ლაბორატორია Labpon-ი მსოფლიოში პირველი გადავიდა ციფრული ტექნოლოგიებით დიაგნოსტიკაზე. ამავე ლაბორატორიაში ქართველი ექიმი და მეცნიერი ციფრული პათოლოგიის მიმართულებას ხელმძღვანელობს.
ალექსი ბაიდოშვილი მოღვაწეობს საქართველოშიც. ის ევექსის ჰოსპიტალური ქსელის პათოლოგ-ანატომიისა და ლაბორატორია „მეგალაბის“ პათოლოგიის მიმართულებას ხელმძღვანელობს. ასევე, არის ონკოლოგია/ჰემატოლოგიის სამედიცინო ექსპერტთა საბჭოს აქტიური წევრი.